TRIGONOMÉTRIA

  SISTEMAS DE MEDIDAS ANGULARES

Medir un ángulo es compararlo con otro ángulo que se toma como unidad de medida.
Existen muchos sistemas de medida angular, ya que se pueden formar arbitrariamente, dependiendo del número de partes iguales en la que se divide el ángulo de una vuelta. A cada parte de ésta división se le considera como UNIDAD DE SISTEMA DE MEDIDA.

Convencionalmente son aceptados 3 sistemas de medición angular

1. Sistema sexagesimal o inglés (S)
2. Sistema centesimal o francés (C)
3. Sistema radial o circular (R)

EQUIVALENCIAS ENTRE SISTEMA DE MEDIDAS ANGULARES

Si :una vuelta

es = 360°= 400g = 2 rad

FORMULA GENERAL DE CONVERSIÓN

 o también            

FORMULAS AUXILIARES

Ángulo Trigonométrico

GENERACIÓN Y CARACTERÍSTICAS :
El ángulo trigonométrico es la figura generada sobre un plano por la rotación de un rayo alrededor de su origen, desde una posición inicial hasta una posición final y en un sentido determinado.
Si la rotación se realiza en sentido horario, entonces la medida del ángulo será negativa y si se realiza en sentido antihorario, entonces la medida del ángulo será positiva.
OBSERVACIONES:
1. La medida del ángulo trigonométrico, no se encuentra sujeto a restricciones pudiendo ser un ángulo de cualquier magnitud
2. Si se cambia el sentido de la rotación de un ángulo, entonces su medida cambiará de signo
3. Para realizar operaciones con ángulos trigonométricos, estos deberán estar en el mismo sentido
SISTEMA DE UNIDADES ANGULARES
Para medir ángulos trigonométricos existen una infinidad de sistemas, debido a que la unidad angular de medida se puede considerar de manera arbitraria; siendo los sistemas convencionales los siguientes :
SISTEMA SEXAGESIMAL O INGLÉS (S)
La unidad de medida en este sistema es el grado sexagesimal (1°)
SISTEMA CENTESIMAL O FRANCÉS (C)
La unidad de medida en este sistema es el grado centesimal (1g)
SISTEMA RADIAL O CIRCULAR (R)
La unidad de medida en este sistema es el radián (1 rad), el cual se define como el ángulo central que subtiende en toda circunferencia un arco de igual longitud que la de su radio.
FACTORES DE CONVERSIÓN
Son fracciones equivalentes a la unidad y se obtienen dividiendo dos cantidades equivalentes, colocando en el numerador una medida en la unidad deseada y en el denominador se coloca su equivalente en la unidad a eliminar.
FÓRMULA DE CONVERSIÓN
Se utiliza sólo cuando las medidas del ángulo estén expresadas en las unidades principales de medida, es decir grados y radianes.

1. La suma de dos ángulos es 50^g y su diferencia es 15°. calcular el mayor ángulo en radianes.
2. Convertir 9° 15’ 30’’ a radianes y a grados, minutos y segundos centesimales.
3. Convertir 16^g 75^m 80^s a radianes y a grados, minutos y segundos sexagesimales.
4. Convertir 3π/14 a grados, minutos y segundos sexagesimales y centesimales.
5. Los ángulos interiores de un triangulo se encuentran en progresión aritmética si el mayor ángulo mide 90g. hallar el ángulo menor en radianes.
6. Si 6° 16’ + 23° ab’ + 11° ba’ = 41°
   
   calcular  en radianes
7. Hallar el complemento del ángulo β = 3π/11 en el sistema centesimal.
8. Hallar X en radianes:
   
   
9. Sea S y R un mismo ángulo trigonométrico que cumple que:
   
   C = 4(n+1)³ y R = (2(n+1)π)/n
   
   Hallar dicho ángulo en grados sexagesimales.
10. Se crea un nuevo sistema “Z” en donde 6 grados de Z equivale a 5^g (grados centesimales) ¿Cuánto equivale 3π/5 en el nuevo sistema “Z”?
    
    
    
    
    2. Convertir 13° 15’ 09’’ a radianes y a grados, minutos y segundos centesimales.
    Solución:
    Antes de realizar la conversión a radianes o centesimales, pasamos los segundos y minutos sexagesimales a grados sexagesimales.
    
    Paso 1: convertimos los segundos sexagesimales a grados sexagesimales, aplicando regla de tres simple
    3600 seg.          1°
    
        09 seg.          X
    Esto quiere decir que en 1° hay 3600 segundos, entonces en 9 segundos cuantos grados hay? ... Para resolver un problema de regla de tres simple multiplicamos en cruz e igualamos ambas operaciones:
    
    3600seg×X = 09seg×1°
    
    X = ×1°   eliminamos las unidades de segundo. Entonces:       X = 0.025^o
    
    Paso 2: ahora convertimos los minutos sexagesimales a grados sexagesimales
    60 min.            1°
    
    15 min.            X
    De la misma manera que la solución anterior, multiplicamos en cruz.
    
    60min×X = 15min×1°
    
    X = ×1°    Entonces    X = 0.25^o
    
    Entonces:
    
    13° 15' 09'' = 13° + 15' + 09'' = 13° + 0.25° + 0.0025° = 13.2525°
    Ahora si realizamos la conversión a centesimales y radianes.
    Realizamos la conversión de grados sexagesimales a grados, minutos y segundos centesimales.
       De esto se deduce que:
    
       Entonces:   C = 14.725^g
    
    14.725^g = 14^g + 0.725^gconvertimos 0.725^g a minutos centesimales.
    
    0.725^g× = 72.5^m = 72^m + 0.5^m convertimos 0.5^m a segundos centesimales.
    
    0.5^m× = 50^s
    entonces 13° 15’ 09’’ equivale a 14^g 72^m 50^s
    ● Respuesta: 13° 15’ 09’’ equivale a 14^g 72^m 50^s.
    
    Ahora realizamos la conversión de 13.2525° a Radianes.
     reemplazamos en S el valor que deseamos convertir.
    
       Entonces:   R = 0.073625πradianes.
    Pasándolo a fracción es:
    
    R = 589π/800radianes.
    ● Respuesta: 13° 15’ 09’’ equivale a 589π/800 radianes.

Longitud de Arco y Área del Sector Circular 

Longitud de un arco. Numero de vueltas de una rueda sobre una superficie plana y/o circular. Aplicaciones: dos ruedas unidas por engranajes, por una faja y por un eje común. Área de un sector circular. Trapecio circular.

1. Un auto en una pista circular recorre un ángulo de 135^o y barre un longitud de arco de 54π.
   
   1. Hallar el radio de la pista circular.
   2. Hallar el área del sector circular recorrida.
2. De la figura, hallar α, si el área del sector S₂ es la tercera parte del sector S₁
   
3. Un sector circular de radio R y longitud de arco L tiene un área S. si incrementamos su radio al doble y el área disminuye a la mitad, ¿en cuánto aumenta o disminuye la longitud de arco con respecto al anterior?
4. El área y perímetro de un cuadrado y un sector circular son equivalentes. Hallar el ángulo de dicho sector circular.
5. De la figura. Hallar el área de la región sombreada.
   
6. Un caballo está amarrado a un poste con un cuerda de longitud “L”, el caballo solo se puede movilizar en el área que la cuerda se lo permita. Si incrementamos 10 metros la longitud de la cuerda, el área por el cual se moviliza el caballo se cuadruplica. ¿Cuál es la longitud de la cuerda original?
7. Hallar el valor de M:
   
8. El péndulo de un reloj al balancearse describe un ángulo de 20^o y una longitud de arco de 3π. ¿Cuál es la longitud del péndulo?
9. La llanta de una bicicleta de radio 0,4 metros recorre 5 vueltas por minuto (5RPM) ¿calcular la distancia que recorrió la llanta en 30 minutos?
10. Hallar el área de la región sombreada.
    

Solucionario:

1. Un auto en una pista circular recorre 135° y barre una longitud de arco de 54π metros.
   
   a) Hallar el radio de la pista circular.
   b) Hallar el área del sector circular recorrida.

Solución

1. En la figura tenemos el recorrido del auto en la pista circular, barriendo un angulo y un arco de 135° y 54πm respectivamente. Nos piden que hallemos el radio.

Para hallar el radio de la pista circular aplicamos la formula:

L = Θ×R ………①
Donde:
L: longitud de arco.
Θ: ángulo barrido en radianes.
R: radio.
Datos que nos proporcionan:
L = 54π m.
Θ = 135°
R = ?
Para poder desarrollar la formula debemos tener el angulo barrido por el auto en radianes, asi que procedemos a transformar 135° a dichas unidades. Para ello usaremos la formula:
          Remplazamos 135° en S
radianes.
Reemplazamos en ① los valores que nos dan por dato para hallar el Radio.
L = Θ×R   ⇒   54π = ×R   ⇒   =R   ⇒   R = 72m.
● Respuesta: La pista tiene un radio de 72 metros.

2. Para hallar el area del sector circular utilizamos cualquiera de estas dos formulas

S = ½×Θ×R²
Donde:
Θ: ángulos barrido en radianes.
R: radio.

S = ½×L×R
Donde:
L: Longitud de arco.
R: radio.
Tenemos el Radio, el angulo y la longitud de arco,así que podemos usar cualquiera de la dos ecuaciones. Optamos al azar por la segunda formula.
S = ½×L×R          Reemplazamos los valores
S = ½×54π×72   ⇒   S = 1944π m².
● Respuesta: El área de la sector recorrida es de 1944π m²

Razones trigonométricas

Razones trigonométricas en un triángulo rectángulo

Seno

El seno del ángulo B es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa.

Se denota por sen B.

Coseno

El coseno del ángulo B es la razón entre el cateto contiguo al ángulo y la hipotenusa.

Se denota por cos B.

Tangente

La tangente del ángulo B es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y el cateto contiguo al ángulo.

Se denota por tg B.

Cosecante

La cosecante del ángulo B es la razón inversa del seno de B.

Se denota por cosec B.

Secante

La secante del ángulo B es la razón inversa del coseno de B.

Se denota por sec B.

Cotangente

La cotangente del ángulo B es la razón inversa de la tangente de B.

Se denota por cotg B.

Razones trigonométricas de un ángulo agudo

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN EL TRIANGULO RECTÁNGULO

.DEFINICIÓN DE Las razones trigonométricas de un ángulo agudo

.razones trigonométricas de ángulos notables.

1.1   DEFINICIÓN           
   

   La trigonometría se fundamenta en algunas relaciones, que llamaremos razones trigonométricas; es decir , los cocientes que existen entre los lados de un triángulo rectángulo entre los pares de lados se forma seis razones que dan lugar a seis relaciones .

Para el ángulo A:

C es la hipotenusa

a es el cateto opuesto

b es el cateto adyacente

TEOREMA DE PITAGORAS

En todo triangulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. De la fig. 1 se obtiene

C² ₌ a²  ₊ b²

Razones trigonométricas

Encontramos en las razones el nombre de la razón cuales son :

SENO, COSENO, TANGENTE, COTAGENTE, SECANTE, COSECANTE. las cuales cada una tiene abreviación distintas y su definición ya establecida y el valor también.

Ejercicios:

1.-

Un padre de familia está realizando labores de mantenimiento en su hogar. Si la longitud de la escalera que esta inclinada contra la pared recta es de 5 m y hay un ángulo que se forma entre la escalera y el piso es A y su seno de este es 12/13 cuanto mide la distancia que hay entre la parte inferior de la escalera hasta la pared.

2.- un barco se encuentra situado al oeste de un faro. A 12km al sur del barco se encuentra un submarino. Considerando tanA=√7 /3  .

¿ qué tan lejos encuentra el submarino del barco?

4.- en un triángulo recto los lados  mayores miden 13cm y 12 cm. Calcular el coseno del ángulo agudo.

5.- en un triángulo recto los lados  menores  miden 2cm y √3cm. ¿calcular el coseno del ángulo agudo del triángulo?.

Ejercicio 6 :
Indica la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones:
1)La cosecante de todo ángulo agudo es mayor que su coseno. …………………………………………………………..( )
2) El coseno de un ángulo puede ser igual a …….( )
3)Para determinar el valor de las seis razones trigonométricas de un ángulo agudo es suficiente conocer el valor de solo una de ellas………………..( )
4) El seno de un ángulo agudo puede medir 0,5 m …….( )
5) Si los lados de un triángulo rectángulo se duplican; entonces el seno de sus ángulos agudos también se duplica……………………………………………………………………..( )
6) Si: y “” es un ángulo agudo; entonces podemos afirmar con seguridad que el cateto opuesto “” mide 1 unidad de longitud y el cateto adyacente mide 2 unidades de longitud ………………………………………….. ( )

Ejercicios de identidades trigonométricas

Comprobar las identidades trigonométricas:

1

2

3

4

5

6

7

Simplificar las fracciones:

1

2

3

Circunferencia Trigonométrica

 Es la circunferencia con centro situado en el origen de los ejes de un sistema de coordenadas y de radio igual a la unidad.


Teniendo en cuenta la definición de circunferencia trigonométrica, si la medida del radio de la circunferencia es 1, la expresión de la función seno es:
 sen α = PM = y = y,
               OP  1
y la expresión de la función coseno es:
cos α = OM = x = x.
               OP   1


entonces el  sen α = y
y el             cos α = x

SIGNOS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

De la figura mostrada determine:

a) las coordenadas de los puntos M y N

b) la distancia 

Razones trigonométricas en una circunferencia

Se llama circunferencia goniométrica a aquélla que tiene su centro en el origen de coordenadas y su radio es la unidad.

En la circunferencia goniométrica los ejes de coordenadas delimitan cuatro cuadrantes que se numeran en sentido contrario a las agujas del reloj.

QOP y TOS son triángulos semejantes.

QOP y T'OS′ son triángulos semejantes.

El seno es la ordenada.

El coseno es la abscisa.

-1 ≤ sen α ≤ 1

-1 ≤ cos α ≤ 1

Signo de las razones trigonométricas

Tabla de razones trigonométricas

Relaciones entre las razones trigonométricas

cos² α + sen² α = 1

sec² α = 1 + tg² α

cosec² α = 1 + cotg² α

Relaciones entre las razones trigonométricas de algunos ángulos

Ángulos complementarios

Ángulos suplementarios

Ángulos que difieren en 180°

Ángulos opuestos

Ángulos negativos

Mayores de 360º

Ángulos que difieren en 90º

Ángulos que suman en 270º

Ángulos que difieren en 270º

RESOLUCION DE TRIANGULOS RECTANGULOS

Resolución de triángulos rectángulos  es hallar sus lados, ángulos y área. Es necesario conocer dos lados del triángulo, o bien un lado y un ángulo distinto del recto.

1 Se conocen la hipotenusa y un cateto:

Ejemplo:

Resolver el triángulo conociendo:

a = 415 m y b = 280 m.

sen B = 280/415 = 0.6747     B = arc sen 0.6747 = 42° 25′

C = 90° - 42° 25′ = 47° 35′

c = a cos B   c = 415 · 0.7381 = 306. 31 m

2 Se conocen los dos catetos:

Ejemplo:

Resolver el triángulo conociendo:

b = 33 m y c = 21 m .

tg B = 33/21 = 1.5714      B = 57° 32′

C = 90° − 57° 32′ = 32° 28′

a = b/sen B   a = 33/0.8347 = 39.12 m

3 Se conocen la hipotenusa y un ángulo agudo:

Ejemplo:

Resolver el triángulo conociendo:

a = 45 m y B = 22°.

C = 90° - 22° = 68°

b = a sen 22°    b = 45 · 0.3746 = 16.85 m

c = a cos 22°     c = 45 · 0.9272 = 41.72 m

4 Se conocen un cateto y un ángulo agudo:

Ejemplo:

Resolver el triángulo conociendo:

b = 5.2 m y B = 37º

C = 90° - 37° = 53º

a = b/sen B     a = 5.2/0.6018 = 8.64 m

c = b · cotg B   c = 5.2 · 1.3270 = 6. 9 m